🧮 3차방정식 근 계산기 | 실근·허근 판별

Q: 실근이 3개인데 왜 카르다노 공식을 쓰지 않나요?

실근이 3개일 때 카르다노 공식은 음수의 제곱근을 거쳐야 해서 실수 계산으로는 답이 나오지 않습니다. 그래서 삼각함수 해법으로 계산합니다.

Q: 검산값은 어떻게 보면 되나요?

구한 근을 원식에 대입한 |f(x)|의 최댓값입니다. 1e-6보다 훨씬 작으면 정확한 근으로 보아도 됩니다.

ax³ + bx² + cx + d = 0

a, b (a는 0이 될 수 없음)

c, d

3차방정식 근 계산기 사용법

ax³ + bx² + cx + d = 0 의 계수를 넣으면 먼저 판별식 Δ로 근의 형태를 가릅니다. Δ > 0 이면 서로 다른 실근 3개, Δ = 0 이면 중근이 있고, Δ < 0 이면 실근 1개와 서로 켤레인 허근 2개입니다. 그 뒤 형태에 맞는 해법으로 근을 구합니다.

계산은 x = t − b/(3a) 로 2차항을 없앤 t³ + pt + q = 0 꼴에서 진행합니다. 실근이 3개일 때 카르다노 공식을 그대로 쓰면 음수의 제곱근이 나와 복소수를 거쳐야 하므로, 이 계산기는 그 경우 삼각함수 해법 t = 2√(−p/3)·cos(θ/3 − 2πk/3)를 사용해 실수 범위에서 계산합니다. Δ < 0 인 경우에만 카르다노 공식을 쓰고, 실근 하나를 구한 뒤 나눗셈으로 남은 2차식을 풀어 켤레 허근을 얻습니다.

결과에는 구한 근을 원래 식에 그대로 대입한 |f(x)| 값을 함께 표시합니다. 이 값이 0에 가까울수록 근이 정확하다는 뜻이므로 계산 결과를 스스로 검산할 수 있습니다. 근의 합이 −b/a, 근의 곱이 −d/a 와 같은지도 이론값과 나란히 보여줍니다.

Δ = 0 판정은 등호로 비교하지 않습니다. 부동소수 연산에서는 이론상 0이어야 하는 값이 정확히 0으로 떨어지지 않기 때문에, 계수 크기에 비례한 상대 허용오차 1e-9를 기준으로 판정합니다. a가 0이면 3차방정식이 아니므로 안내 메시지가 표시됩니다. 4차 이상의 방정식은 지원하지 않습니다.

자주 묻는 질문

판별식으로 무엇을 알 수 있나요?

Δ > 0 이면 서로 다른 실근 3개, Δ = 0 이면 중근이 있고, Δ < 0 이면 실근 1개와 켤레 허근 2개입니다. 근을 구하기 전에 형태를 먼저 알 수 있습니다.

실근이 3개인데 왜 카르다노 공식을 쓰지 않나요?

실근이 3개일 때 카르다노 공식은 음수의 제곱근을 거쳐야 해서 실수 계산으로는 답이 나오지 않습니다. 그래서 삼각함수 해법으로 계산합니다.

검산값은 어떻게 보면 되나요?

구한 근을 원식에 대입한 |f(x)|의 최댓값입니다. 1e-6보다 훨씬 작으면 정확한 근으로 보아도 됩니다.

3차방정식 근 계산기 사용법

자주 묻는 질문

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