이차방정식 — 근의 공식과 판별식 완벽 정리
이차방정식 ax² + bx + c = 0은 수학에서 가장 기본적인 방정식 중 하나입니다. 근의 공식 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a를 이용하면 어떤 이차방정식이든 두 근을 구할 수 있습니다. 물리학의 포물선 운동, 공학의 최적화 문제, 경제학의 이윤 극대화 모델 등 다양한 분야에서 이차방정식이 등장합니다.
판별식(D = b² - 4ac)에 따른 근의 분류:
1. D > 0 — 서로 다른 두 실근이 존재합니다. 포물선이 x축과 두 점에서 교차합니다.
2. D = 0 — 중근(같은 두 실근)이 존재합니다. x = -b/2a. 포물선이 x축에 접합니다.
3. D < 0 — 실수 범위에서 근이 없고 허근(복소수 근)이 존재합니다. 포물선이 x축과 교차하지 않습니다.
비에타의 공식(두 근의 관계):
두 근 x₁, x₂에 대해 x₁ + x₂ = -b/a, x₁ × x₂ = c/a가 성립합니다. 실제로 근을 구하지 않고도 두 근의 합과 곱을 계수만으로 바로 알 수 있어 검증에 유용합니다.
이 계산기는 근의 공식을 적용해 두 근 x₁, x₂를 계산하고, 판별식과 비에타의 공식 결과를 함께 표시합니다. a = 0을 입력하면 일차방정식이 되므로 a는 반드시 0이 아닌 값을 입력해야 합니다.
자주 묻는 질문 (FAQ)
A: a = 0이면 이차방정식이 아닌 일차방정식(bx + c = 0)이 됩니다. 계산기는 a ≠ 0 조건을 확인하므로 0 입력 시 경고 메시지가 표시됩니다.
A: 네, 정수와 소수 모두 입력 가능합니다. 예: a=0.5, b=-1.5, c=1
A: D < 0인 경우 x = (실수부) ± (허수부)i 형태로 복소수 근을 표시합니다.