순열과 조합 — 경우의 수를 구하는 두 가지 방법
순열(Permutation)과 조합(Combination)은 경우의 수를 계산하는 수학의 핵심 개념입니다. 순열은 순서가 중요할 때, 조합은 순서가 관계없을 때 사용합니다. 예를 들어 5명 중 반장·부반장을 선출하는 경우(순서 있음)는 순열, 5명 중 2명의 대표를 뽑는 경우(순서 없음)는 조합입니다.
공식 정리:
순열: nPr = n! / (n-r)! — n개에서 r개를 순서 있게 선택
조합: nCr = n! / (r! × (n-r)!) — n개에서 r개를 순서 없이 선택
관계: nPr = nCr × r!
주요 활용 사례:
1. 로또 — 45개 번호 중 6개를 순서 없이 선택: C(45,6) = 8,145,060가지
2. 비밀번호 — 10개 숫자 중 4자리를 순서 있게 선택(중복 없음): P(10,4) = 5,040가지
3. 팀 구성 — 10명 중 3명의 팀을 구성: C(10,3) = 120가지
4. 경마·경쟁 — 8마리 말의 1·2·3위 예측: P(8,3) = 336가지
5. 메뉴 선택 — 10가지 메뉴 중 3가지를 고르는 세트 메뉴: C(10,3) = 120가지
6. 확률 계산 — 조합을 이용해 특정 사건의 확률 = 원하는 경우의 수 / 전체 경우의 수
이 계산기는 JavaScript의 안전한 정수 범위(2^53-1)까지 정확하게 계산합니다. n이 매우 큰 경우(20 이상) 팩토리얼값이 JavaScript 최대값을 초과할 수 있어 지수 표현으로 대신 표시될 수 있습니다.
자주 묻는 질문 (FAQ)
A: 0!은 수학적 관례로 1로 정의됩니다. 빈 집합에서 원소를 선택하는 경우의 수는 '아무것도 하지 않는' 방법 1가지가 있기 때문입니다. 이를 통해 조합 공식에서 r=0 또는 r=n 경우가 자연스럽게 1이 됩니다.
A: 네, 0개를 선택하거나(방법: 선택 안 함 1가지) n개 전부를 선택하는(방법: 전부 선택 1가지) 경우의 수는 항상 1입니다.
A: 이 계산기는 중복 없는 순열과 조합만 지원합니다. 중복 순열은 nⁿ, 중복 조합은 C(n+r-1, r)로 계산됩니다.