최대공약수·최소공배수란?
최대공약수(GCD, Greatest Common Divisor)는 두 수를 동시에 나눌 수 있는 가장 큰 자연수입니다. 최소공배수(LCM, Least Common Multiple)는 두 수의 공통 배수 중 가장 작은 자연수입니다. 이 두 개념은 분수의 약분·통분, 주기 문제, 패턴 분석 등 다양한 수학 문제에서 핵심 역할을 합니다.
계산 방법
유클리드 알고리즘은 GCD(a, b) = GCD(b, a mod b) 관계를 나머지가 0이 될 때까지 반복 적용합니다. 예를 들어 GCD(48, 36): 48 ÷ 36 = 나머지 12 → GCD(36, 12): 36 ÷ 12 = 나머지 0 → GCD = 12. LCM은 LCM(a,b) = a × b ÷ GCD(a,b) 공식으로 구합니다. 48과 36의 경우 LCM = 48 × 36 ÷ 12 = 144입니다.
실생활 활용 예시
• 분수 약분: 24/36 → GCD(24,36)=12 → 2/3으로 약분 가능
• 통분: 1/4 + 1/6 → LCM(4,6)=12 → 3/12 + 2/12 = 5/12
• 버스 시간표: 12분 간격과 18분 간격 버스가 동시에 출발 → LCM(12,18)=36분마다 동시 출발
• 타일 깔기: 가로 48cm, 세로 36cm 방에 정사각형 타일 → GCD(48,36)=12cm 타일이 최대
자주 묻는 질문
서로소인 두 수(공약수가 1뿐인 수)는 GCD가 1입니다. 소수끼리는 항상 서로소이지만, 소수가 아닌 수끼리도 서로소일 수 있습니다(예: 9와 16).
네, 양의 정수 두 수에 대해 GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b는 항상 성립합니다. 이 계산기도 이 관계를 이용해 LCM을 구합니다.
세 수 이상은 두 수씩 순차적으로 적용합니다. GCD(a,b,c) = GCD(GCD(a,b),c), LCM(a,b,c) = LCM(LCM(a,b),c)로 계산합니다.