🧿 오일러 피(φ) 계산기

자연수 n

오일러 피 함수 φ(n)의 뜻과 계산법

오일러 피 함수 φ(n)은 1부터 n까지의 수 가운데 n과 서로소인 수가 몇 개인지 세는 함수입니다. 10을 예로 들면 1, 3, 7, 9가 10과 공약수 1만 가지므로 φ(10)=4가 됩니다. 1은 자기 자신뿐이고 gcd(1,1)=1이므로 φ(1)=1로 정의합니다. 소수 p는 p 자신만 제외되므로 φ(p)=p−1이고, 결과에 소수 판정 줄이 따로 표시됩니다.

계산은 소인수분해로 합니다. n의 서로 다른 소인수를 찾으면 φ(n) = n × (1−1/p₁) × (1−1/p₂) × … 로 구할 수 있습니다. 다만 이 식을 소수 연산으로 그대로 계산하면 1/3처럼 유한 소수로 쓸 수 없는 값이 끼어들어 오차가 생깁니다. 그래서 이 계산기는 소인수마다 먼저 나누고 곱하는 정수 연산으로 진행해 정확한 정수만 다룹니다. 360이면 360÷2×1=180, 180÷3×2=120, 120÷5×4=96 순서로 φ(360)=96을 얻습니다.

이 과정을 화면에 그대로 보여주므로 값이 어떻게 만들어졌는지 확인할 수 있고, φ(n)을 n으로 나눈 비율도 함께 표시합니다. n이 100 이하이면 서로소인 수를 전부 나열해 개수가 φ(n)과 맞는지 직접 확인할 수 있습니다. 소인수분해는 √n까지만 나눠보므로 1조까지 입력을 받으며, 0과 음수, 소수점이 있는 수는 φ(n)을 정의하지 않아 지원하지 않습니다.

자주 묻는 질문

오일러 피 함수는 무엇을 세는 값인가요?

1부터 n까지의 수 중에서 n과 서로소인 수의 개수입니다. 10의 경우 1, 3, 7, 9가 해당하므로 φ(10)=4입니다.

φ(1)은 왜 1인가요?

1부터 1까지의 수 중 1과 서로소인 수는 1 자신뿐이기 때문입니다. gcd(1,1)=1이므로 개수는 1개가 됩니다.

n이 소수면 φ(n)은 어떻게 되나요?

소수 p는 자기 자신만 공약수가 되므로 1부터 p까지 중 p만 제외됩니다. 따라서 φ(p)=p−1이고, 결과에 소수 판정 줄이 함께 표시됩니다.

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